高中数学复合函数求导公式及法则(学好网)

设函数y=f(u)的概念域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的概念域为Dx，值域为Mx，假如Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有确定的y值与之对应，则变量x与y之间根据变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

复合函数怎么求导

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，

从而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)

呵呵，我们的教师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！

f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)

因此f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).

以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)

y'={sin(3-x)]'=-cos(x)

一开始会做不太好，老是要对照公式和例子，

但只要多练练，并且熟记公式，比较关键的是记牢一两个例子，多练习便会了。

复合函数求导法则

证法一：先证明个引理

f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)

证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

因此H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

因此f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)

引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

由于φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，所以H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

证明：由于y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu

但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

又由于Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

又g(x)在x处连续(由于它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

则lim(Δx->0)α=0

比较终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

好了，关于高中数学复合函数求导公式及法则这个问题学好网小奔就为大家介绍到这里了，希望对你有所帮助，若还有更多疑问，可以点击右下角咨询哦！学习肯定是苦的，特别是在考试前，同学们更是叫苦连天，老师抓紧时间给我们做令人烦琐的复习题，布置了堆起小山的回家作业。虽然学习很忙碌，很辛苦，但我并没有觉得疲倦，我觉得学习很快乐。看到了自己有了优异的成绩，我会想：学习是幸福的，当历尽了千辛而获得成功时，学习的果实是那么的甜啊！