勾股定理的证明方法

比较常见的勾股定理证明办法是欧几里得证明，设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在欧氏《几何原本》中，勾股定理的证明办法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后采用面积办法加以证明。如图，设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等，即，。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

假如两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半，如。

任意一个正方形的面积等于其两边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其两边长的乘积。

证明的办法如下：

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成正方形CBDE、BAGF和ACIH。如上图，

画出过点A与BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，所以C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，因此∠ABD=∠FBC。

由于AB=FB，BD=BC，因此△ABD≌△FBC。

由于A、K和L在同一直线上，因此四边形面积。

由于C、A和G在同一直线上，因此正方形面积。

所以=AB2。

同理可证，=AC2。

把这两个结果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

因为BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

因为CBDE是个正方形，所以AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

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