幂函数的定义域和值域

幂函数的概念域和值域：当m，n都为奇数，k为偶数时，概念域、值域均为R；当m，n都为奇数，k为奇数时，概念域、值域均为{x∈R|x≠0}。

概念域和值域

幂函数的一般形式是y=x^α，其中，a可为任何常数，但中学时期仅研究a为有理数的情形（a为无理数时，概念域为(0，+∞) ），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。

（1）当m，n都为奇数，k为偶数时，概念域、值域均为R，为奇函数；

（2）当m，n都为奇数，k为奇数时，概念域、值域均为{x∈R|x≠0}，也便是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数；

（3）当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，概念域、值域均为[0，+∞)，为非奇非偶函数；

（4）当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，概念域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数；

（5）当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，概念域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数；

（6）当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，概念域为{x∈R|x≠0}，也便是（-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。

幂函数的概念域

形如y=x^a(a为常数）的函数，称为幂函数。

假如a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握怎么理解指数为无理数的问题，由于这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。所以我们只要接受它作为一个已知事实即可。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来讨论各自的特性：

首先我们了解假如a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），假如q是奇数，函数的概念域是R，假如q是偶数，函数的概念域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的概念域是（－∞，0)∪(0,＋∞).所以能够看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就能够了解：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a能够是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的全部实数，q不能是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的全部实数，a就不能是负数。

归纳起来，就能够获得当a为不同的数值时，幂函数的概念域的不同状况如下：

假如a为任意实数，则函数的概念域为大于0的全部实数；

假如a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的概念域还必须通过q的奇偶性来确定，即假如另外q为偶数，则x不能小于0，这时函数的概念域为大于0的全部实数；假如另外q为奇数，则函数的概念域为不等于0的全部实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有另外q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

因为x大于0是对a的任意取值都有意义的，必须指出的是，当x<0时，幂函数存在一个相当棘手的内在矛盾：[x^(a/b)]^(c/d)、[x^(c/d)]^(a/b)、x^(ac/bd)这三者相等吗？若p/q是ac/bd的既约分数，x^(ac/bd)与x^(p/q)以及x^(kp/kq)（k为正整数）又能相等吗？也便是说，在x<0时，幂函数值的性与幂指数的运算法则发生不可调和的冲突。对此，现在有两种观点：一种坚持根据约定既约分数来处理这一矛盾，能很好解决幂函数值的性问题，但幂指数的运算法则较难维系；另一种观点则觉得，直接取消x<0这种状况，即规定幂函数的概念域为[0，+∞）或（0，+∞）。看来这一问题有待老师学者们努力讨论后予以解决。

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