无锡市普通高中2018年高一期终教学质量抽测建议卷及答案

亲爱的同学，学期已经开始有一半了，现在就请走进数学世界，通过下面一些问题的解决来展示自己对数学的理解、亮出数学学习的风采吧。只要你认真答题不马虎，相信成功必将属于你！
无锡市普通高中2018年高一期终教学质量抽测建议卷及答案
高一数学
第Ⅰ卷（共70分）
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1.某校有老师人，男学生人，女学生人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为          ．
2.等比数列中，若，，则          ．
3.在中，，，，则          ．
4.如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒.若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为          ．
5.已知某人连续次射击的环数分别是，，，，，若这组数据的平均数是，则这组数据的方差为          ．
6.如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是          ．
7.已知实数，满足则的比较大值是          ．
8.在等差数列中，，，则的比较小值为          ．
9.设，且，则          ．
10.如图所示，墙上挂有一块边长为的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是          ．
11.在中，已知，，，且，是方程的两根，则的长度为          ．
12.在上定义运算※，若存在，使不等式※成立，则实数的取值范围为          ．
13.设数列的前项和为，，若对任意实数，总存在自然数，使得当时，不等式恒成立，则的比较小值是          ．
14.已知，，则的比较大值是          ．
第Ⅱ卷（共90分）
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 某校有名学生参加学校组织的“数学集训队”选拔考试，现从中等可能抽出名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：
分组 频数 频率
0.025
0.050
0.200
12 0.300
0.275
4
0.050
合计 1
（1）求的值，并根据题中信息估计总体平均数是多少？
（2）若成绩不低于分的同学能参加“数学集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学集训队”？
16. 在中，角，，的对边分别是，，，若.
（1）求角的值；
（2）若的面积，，求的值.
17. 已知数列是首项为，公比为的等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，求满足不等式的比较大正整数的值.
18. 如图所示，是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰米，.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸，上分别取点，（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道（宽度不计），使得三角形和四边形的周长相等.
（1）若水上观光通道的端点为线段的三等分点（靠近点），求此时水上观光通道的长度；
（2）当为多长时，观光通道的长度比较短？并求出其比较短长度.
19. 已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
20. 已知等差数列的前项的和为，公差，若，，成等比数列，；数列满足：对于任意的，等式都成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：；数列是等比数列；
（3）若数列满足，试问是否存在正整数，（其中），使，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理由.
试卷答案
一、填空题
1.          2.           3.           4.           5.
6.            7.          8.            9.          10.          
11.          12.      13.           14.          
二、解答题
15.解：（1）由第四行数据可知，所以.
数据的频率为，
则利用组中值估计平均数为
.
（2）成绩不低于分的同学的概率为，
∴该校能参加集训队的人数大约为人.
16.解：（1）由及正弦定理得：
，①
又，②
由①②得，
在中，∵，∴，
∴，而，∴.
（2）由，得.
又，所以.
由余弦定理，得，故.
17.解：（1）由题意得，
∴，即，解得或.
又，于是，
∴.
（2），
，
.
两式相减得：，
，
∴.
∴转化为， ∴.
∴正整数的比较大值为.
18.解：（1）在等腰中，过点作于，
在中，由，即，∴，，
∴三角形和四边形的周长相等.
∴，即，
∴.
∵为线段的三等分点（靠近点），∴，，
在中，，
∴米.
即水上观光通道的长度为米.
（2）由（1）知，，设，，在中，由余弦定理，得
.
∵，∴.
∴，当且仅当取得等号，
所以，当米时，水上观光通道的长度取得比较小值，比较小值为米.
19.解：（1）由题意，得
即
①当时，得，解得；
②当时，得，
∵，
∴解得或；
③当时，得，
∵.
当时，，解得；
当时，，，解集为空集；
当时，，解得；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
（2）的图像是一条开口向上的抛物线，关于对称.
由题意：.
①若，则在上是增函数，从而
在上的比较小值是，比较大值是.
由得于是有
解得，∴.
又∵，∴.
②若，此时.
则当时，不恒成立.
综上：使恒成立的的取值范围是.
20.解：（1）设数列公差为，由题设得
即解得
∴数列的通项公式为：.
（2）∵
∴，①
∴，②
由②-①得，③
∴，④
由④-③得，
由①知，，∴.
又，∴数列是等比数列.
（3）假设存在正整数，（其中），使，，成等比数列，则，，成等差数列.
由（2）可知：，∴.
于是，.
由于，所以
因为当时，，即单调递减，
所以当时，，不符合条件，
所以或，
又，所以，所以
当时，得，无解，
当时，得，所以，
综上：存在正整数数组，使，，成等比数列.