山西省太原市2017届高三年级模拟试题（二）答案以及解析

以下是山西省太原市2017届高三年级模拟试题（二）答案以及解析，同学可通过做题并且参考答案和解析，检测自己对于高三数学的掌握情况，再去针对性复习。
数学（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）已知（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的坐标是（ B ）
（A）      （B）      （C）      （D）
（2）已知集合，，则（ C ）
（A）      （B）      （C）      （D）
（3）已知，，则在方向上的投影为（ A ）
（A）      （B）      （C）      （D）
（4）已知公比的等比数列的前n项和为，，，则（ D ）
（A）      （B）      （C）      （D）
（5）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ B ）
（A）      （B）      （C）      （D）
 
（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ D ）
（A）      （B）      （C）      （D）
 
（7）函数的图象大致为（ A ）
（A）      （B）      （C）      （D）
 
（8）执行下面的程序框图，则输出（ B ）
（A）      （B）      （C）      （D）
 
（9）已知实数，满足条件，则的比较小值为（ C ）
（A）      （B）      （C）      （D）
（10）将函数的图象向右平移个单位得到的图象，若在和上都单调递减，则实数的取值范围为（ A ）
（A）      （B）      （C）      （D）
（11）已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于，两个不同的点，点是的中点，则（为坐标原点）的面积是（ D ）
（A）      （B）      （C）      （D）
（12）已知，若函数恰有三个零点，则下列结论正确的是（ D ）
（A）      （B）      （C）      （D）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
（13）若“”是假，则实数的取值范围是           ．
（14）已知，，则           ．
（15）已知点是的内心，，，则面积的比较大值为       ．
（16）已知三棱锥中，，，点是的中点，点在平面射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表面积为        ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（17）（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
【解析】（Ⅰ）当时，，当时，，
又符合上式，，．
（Ⅱ），  ①，
  ②，
①②得，，
 
（18）（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可，规则如下：
1．方案有以下两种，方案：从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回甲袋中；方案；从装有2个红球，1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回乙袋中．
2．的条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案一次；满150元，可根据方案一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的方式可以有以下三种，根据方案三次或方案两次或方案、各一次），已知顾客在该商场购买商品的金额为250元．
（Ⅰ）若顾客只选择方案进行，求其所获奖金为15元的概率；
（Ⅱ）若顾客采用每种方式的可能性都相等，求其比较有可能获得的奖金数（除0元外）．
【解析】（Ⅰ）设“获奖金为15元”为时间，则．
（Ⅱ）若按方案两次，则获奖金为15元的概率为，获奖金为30元的概率为，若按方案、两次，则获奖金为15元的概率为，获奖金为10元的概率为，获奖金为25元的概率为，故比较有可能获得的奖金数为15元．
 
（19）（本小题满分12分）如图（1），在平面六边形中，四边形是矩形，且，，，点，分别是，的中点，分别沿直线，将，翻折成如图（2）的空间几何体．
（Ⅰ）利用下列结论1或结论2，证明：、、、四点共面；
结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且仅有一个．
结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个．
（Ⅱ）若二面角和二面角都是，求三棱锥的体积．
 
【解析】（Ⅰ）由题意，点在底面的射影在上，可设为点，同理，点在底面的射影在上，可设为点，则面，面，面面，面面，又面，面，面，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个，则、、、四点共面．
（Ⅱ）若二面角和二面角都是，则，易得，则，，
．
 
（20）（本小题满分12分）如图，曲线由左半椭圆和圆在轴右侧的部分连接而成，，是与的公共点，点，（均异于点，）分别是，上的动点．（Ⅰ）若的比较大值为，求半椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过点，且，，求半椭圆的离心率．
 
【解析】（Ⅰ）由已知得：当为半椭圆与轴的左交点，为圆与轴的右交点时，会取得比较大值，即，解得，由图像可得，即，故半椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线方程为，，，联立
得，故，，，又，
且，，故，，，
又，且，，
，
解得，故，代入解得，故．
 
（21）（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求的比较小值；（Ⅱ）当时，证明：不等式在上恒成立．
【解析】（Ⅰ）当时，，，令解得，

0
极小值
故当时，的比较小值为．
（Ⅱ），，，故存在使得，令，则当时，，
故在单调递增，且，是的零点，且在处取得比较小值，又即可得，，构造函数：，，
二次求导可得，故当时，，即在单调递减，
则当时，，可得在单调递减，
在单调递减，，得证．
 
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，，且），点，（在轴的下方）是曲线与的两个不同交点．
（Ⅰ）求曲线普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）求的比较大值及此时点的坐标．
【解析】（Ⅰ）由得，平方，相加得：，：．
（Ⅱ）将化为参数方程：（为参数），将参数方程代入，
得，，，
，，且，，
，此时点的坐标为．
 
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当时，，由解得或．
（Ⅱ），，且，
，
令，由题意得，解得，
，．