山东省枣庄市2018届高三第二次数学（理）试题以及答案和解析

以下是山东省枣庄市2018届高三第二次数学（理）试题以及答案和解析，同学们可以通过做题并对照答案和解析，来复习巩固高三数学知识点。
理科数学
第Ⅰ卷（选择题  共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（   ）
A．           B．         C．        D．
2.已知复数（是虚数单位），则（   ）
A．                B．             C．           D．
3.已知，，，则，，的大小关系是（   ）
A．         B．       C．       D．
4.下图给出的是计算值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（   ）
A．           B．       C．       D．
5.若的展开式中的系数为，则（   ）
A．                 B．             C．              D．
7.已知，则（   ）
A．              B．           C．         D．
9.已知，则满足成立的取值范围是（   ）
A．                           B．
C．                           D．
11.设、是椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（   ）
A．                              B．
C．                              D．
12.已知函数的图象关于点对称，则在上的值域为（   ）
A．               B．          C．       D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知实数，满足，则的比较大值为          ．
14.在平行四边形中，，，若，则          ．
15.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的标准方程为          ．
16.已知，若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是          ．（结果用区间表示）
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.为数列的前项和.已知，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
20.已知抛物线：，不过坐标原点的直线交于，两点.
（Ⅰ）若，证明：直线过定点；
（Ⅱ）设过且与相切的直线为，过且与相切的直线为.当与交于点时，求的方程.
21.已知.
（Ⅰ）若曲线与轴有公共点，求的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）若，求直线被曲线截得的线段的长度；
（Ⅱ）若，在曲线上求一点，使得点到直线的距离比较小，并求出比较小距离.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.
2018届高三
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5: ACBDD      6-10: CBABB     11、12：AD
二、填空题
13.          14.           15.           16.
三、解答题
17.（Ⅰ）当时，有，即.
因为，所以.从而，即.
由，知.
两式相减，得.
即，即，
即.
因为，所以，即.
所以，数列是首项为，公差为的等差数列.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
数列的前项和为
.
18.（Ⅰ）证法1：在平面内过点作两条直线，，
使得，.
因为，所以，为两条相交直线.
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.
所以.
同理可证.
又因为平面，平面，，
所以平面.
证法2：在平面内过点作，在平面内过点作.
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.
同理可证平面.
而过点作平面的垂线有且仅有一条，
所以与重合.所以平面.
所以，直线为平面与平面的交线.
所以，直线与直线重合.所以平面.
（Ⅱ）如图，分别以、、所在方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，，.
由为的中点，得；
由，得.
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即.
取，则，.
所以.
所以.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）；；
；
.
（Ⅲ）由题意，甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为、、.
.
20.设，.
（Ⅰ）解：显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为.由题意，.
由，得.
由题意，该方程的判别式，即.
则，.
因为，所以，所以，
即，即.
所以.
所以.解得（舍去），或.
当时，，满足式.
所以直线的方程为.
直线过定点.
（Ⅱ）解法一：过点且与：相切的直线的斜率必存在，设其斜率为，则其方程为，即.
由消去并整理得.
由判别式，解得.
不妨设的斜率，则的斜率.
由韦达定理，得，即.
.所以.
同理可得.
直线的方程为，
即直线的方程为.
解法二：，所以过且与相切的直线的斜率为.
同理，的斜率为.
：，即：.同理：.
因为与的交点的坐标为方程组的解，
所以，且.
所以方程，即的两个实根是，.
由，解得，.
又点，在：上，可得，.
直线的方程为，
即直线的方程为.
解法三：，所以过且与相切的直线的斜率为.同理，的斜率为.
所以，切线：，即.
又是抛物线上的点，所以，即.
故切线的方程为.
同理切线的方程为.
又切线与切线均过点，故，.
所以切点、的坐标适合方程.
所以的方程为.
21.（Ⅰ）解：函数的定义域为..
由题意，函数有零点..
（1）若，则.
显然恒成立，所以在上是增函数.
又，所以符合题意.
（2）若，.
；.
所以在上是减函数，在上是增函数.
所以.
由题意，必有（若，则恒成立，无零点，不符合题意）.
①若，则.
令，则.
；.
所以函数在上是增函数，在上是减函数.
所以.所以，当且仅当时取等号.
所以，，且.
取正数，则；
取正数，显然.而，
令，则.当时，显然.
所以在上是减函数.
所以，当时，，所以.
因为，所以.
又在上是减函数，在上是增函数.
则由零点存在性定理，在、上各有一个零点.
可见，，或不符合题意.
注：时，若利用，，，说明在、上各有一个零点.
②若，显然，即.符合题意.
综上，实数的取值范围为.
（Ⅱ）.
令，则对任意的恒成立.
（1）当时，.
当时，，所以在上是减函数.
所以，当时，.可见，符合题意.
（2）若，显然在上是减函数.
取实数，显然.
则（利用）
.
又，在上是减函数，
由零点存在定点，存在的使得.
于是，当时，，函数在上是增函数.
所以，当时，.可见，不符合题意.
当时，分如下三种解法：
解法一：（3）若，，.
令，显然在上是减函数，
所以，当时，，当且仅当时取等号.
所以，当时，，在上是减函数.
所以，当时，.
所以，在上是减函数.
所以，当时，.可见，符合题意.
（4）若，，.
令，显然在上是减函数，且，
，
所以，存在的，使得，即.
于是，当时，；当时，.
所以，当时，；当时，.
所以，在上是增函数，在上是减函数.
所以，在上的比较大值.
将式代入上式，得.
所以，当时，，所以在上是减函数.
所以，当时，.可见，符合题意.
综上，所求的取值范围是.
解法二：（3）若，对任意的恒成立对任意的恒成立.
令，.
，当时，，
所以在上是增函数.所以.
显然在上是减函数，.
所以，当时，，即对任意的恒成立.
所以符合题意.
综上，所求的取值范围是.
解法三：（3）若，对任意的恒成立.
令，.
，当时，，
所以在上是减函数.所以.
所以，当时，.
当，时，.
所以，当，时，恒成立.
所以符合题意.
综上，所求的取值范围是.
解法四：.
令，则对任意的恒成立.
.
令，当时，，
所以在上是增函数.
（1）若，则时，，，
所以在上是增函数.
所以，当时，.可见，符合题意.
（2）若，，
.
（这里利用了时，）
又在上是增函数，由零点存在性定理，
知存在的，使得.
于是，当时，，，
所以，在上是减函数.
所以，当时，.可见，不符合题意.
综上，所求的取值范围是.
注：利用，，说明在上有零点.
解法五：.
令，则对任意的恒成立.
（1）先寻求使结论成立的充分条件.
由，要使对任意的恒成立.
要在上是减函数，即对任意的恒成立.
而，
所以，要对任意的恒成立.
令，.
显然在上是减函数，
所以，当时，.
所以在上是减函数.
所以在上的比较大值.
则要.
可见，当时，对任意的恒成立.
（2）当时，，
（时，）
.
又时，在上是减函数，
由零点存在定理，存在的，使得.
于是，当时，，
所以在上是增函数.
所以，当时，.
可见，不符合题意.
综上，所求的取值范围是.
注：时，用，，说明在上有零点.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由.解得或，
直线被曲线截得的线段的长度为.
（Ⅱ）解法一：时，直线的普通方程为.
由点到直线的距离公式，椭圆上的点到直线：的距离为
，
其中满足，.
由三角函数性质知，当时，取比较小值.
此时，，.
因此，当点位于时，点到的距离取比较小值.
解法二：当时，直线的普通方程为.
设与平行，且与椭圆相切的直线的方程为.
由消去并整理得.
由判别式，解得.
所以，直线的方程为，或.
要使两平行直线与间的距离比较小，则直线的方程为.
这时，与间的距离.
此时点的坐标为方程组的解.
因此，当点位于时，点到直线的距离取比较小值.
23.选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当时，.
由，解得.
所以，不等式的解集为.
（Ⅱ）
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
.
综上，当时，有比较小值.
故由题意得，解得，或.
所以，实数的取值范围为.